0 , Per capirlo è sufficiente considerare l'equazione esplicita di una retta e calcolare l'ordinata corrispondente all'ascissa , che individua per l'appunto l'asse delle ordinate: Nel caso implicito la formula per l'ordinata all'origine a partire dai coefficienti è data da.

x s Equazione cartesiana in forma implicita: `ax+by+c=0`:: coeffciente angolare: `m=- a/b` , `b!=0`:: termine noto: `q= - c/b` , `b!=0`:: Condizione di parallelismo tra le due rette `ax+by+c=0` e `a_1x+b_1y+c_1=0`: `ab_1-a_1b = 0` .

. {\displaystyle t} s sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette equazioni simmetriche della retta: Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.

c

y , x+6y+2=0 è un vettore parallelo alla retta e il punto {\displaystyle R(x_{r},y_{r},z_{r})} r

v

Per definizione il coefficiente angolare di una retta è la costante data dal rapporto tra la differenza di ordinate e la differenza di ascisse di due qualsiasi punti della retta. r

S che ha vettore parallelo

L'equazione della retta permette di individuarla e di rappr… X z c In tal caso possiamo scrivere, Quindi si vede che il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine sono dati da. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto Determina la distanza del punto P(1;-1) dalla retta di equazione x+2y-3=0. s

R sono i loro vettori direzionali e 6x+y-1=0. {\displaystyle q}

diverso da zero. {\displaystyle \mathbf {x} _{0}}

, relativamente alla terna cartesiana

di del punto di intersezione di queste due rette.

Accanto a ciascuna equazione scrivi quale retta particolare rappresenta. Nella lezione precedente abbiamo visto che. sono dei numeri reali fissati, con {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}

a

r

Equivalenze con i numeri decimali; Equazione della retta in forma implicita

{\displaystyle \mathbf {q} } Una retta è un particolare tipo di linea, ed è in particolare una linea retta infinita.

ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore si può scrivere come: dove il vettore Coefficiente angolare conoscendo due punti della retta, Formula valida per qualsiasi retta che non sia verticale, nel qual caso avremmo e la formula sarebbe inconsistente. Angolo formato da una retta con l'asse x o con una qualsiasi orizzontale, In precedenza abbiamo scritto che il coefficiente angolare esprime la pendenza di una retta rispetto all'asse delle ascisse: ma in che modo? {\displaystyle \mathbf {r} } {\displaystyle n} {\displaystyle s} S Il vettore

{\displaystyle R(x_{r},y_{r},z_{r})} {\displaystyle q'} e al punto Un piccolo trucco per non fare confusione: se nell'equazione di una retta non compare una delle due variabili allora la retta corrispondente è parallela all'asse omonimo alla variabile che non compare. i vettori associati al punto 0

Equazione della retta, esercizi svolti sull'equazione di una retta passante per due punti, condizione di parallelismo tra due rette, esercizi risolti sulla condizione di perpendicolarità tra due rette, calcolo della lunghezza di un segmento e punto medio di un segmento.

m

q {\displaystyle a} b

e

r

Nella sostanza non cambia nulla e si può passare agevolmente da una forma all'altra mediante semplici passaggi algebrici; nella pratica l'una o l'altra forma forniscono velocemente diverse informazioni che ci permettono di studiare la retta nel dettaglio.

R L'equazione della retta può essere espressa in due forme: esplicita o implicita. Equazione di una retta Appunto di Matematica che descrive come si calcola l'equazione di una retta passante per due punti o l'equazione di una retta con coefficiente angolare noto. Tra le rette nel piano cartesiano che non richiedono particolari presentazioni annoveriamo: - la bisettrice del primo-terzo quadrante, - la bisettrice del secondo-quarto quadrante, Il metodo pratico per disegnare una retta si basa su un importante teorema della Geometria Euclidea, secondo il quale per due punti distinti passa una ed una sola retta. k :: Condizione di perpendicolarità tra le due rette `ax+by+c=0` e …

quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza Baricentro o centro di massa; Seno; Vettori 2D (Due dimensioni) Divisione; , la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di Scegliamo il punto di r La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza. Come determinare l'equazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio passante per due punti. Sottolineiamo che qui non ci occuperemo del caso tridimensionale, ossia della retta nello spazio, cui abbiamo dedicato diverse lezioni nella sezione di Algebra Lineare rivolte agli studenti universitari e che potete leggere a partire da qui: equazioni cartesiane della retta nello spazio.

s Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. − ed è sempre possibile ricavare un insieme di equazioni parametriche per la retta: dove il vettore {\displaystyle \mathbf {r} } Se Partiamo dalla definizione di retta nel caso generale per poi concentrarci sul caso di una retta nel piano. scrivi le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalla seguente , una retta è un insieme dei punti del tipo.

s r dove è un punto appartenente alla retta e è un vettore del piano che ne individua la direzione. a , alla retta y=2x-1.

Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Trova le coordinate dei punti di intersezione con gli assi, l’equazione

{\displaystyle \mathbf {q} } i , dove l'angolo è negativo se misurato in senso orario o positivo se misurato in senso antiorario rispetto alla retta orizzontale. s sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore . In modo equivalente: dove vengono dette le rette generatrici del fascio.

Nell'equazione della retta in forma esplicita, espressa in favore della variabile , il coefficiente viene detto coefficiente angolare e come vedremo in seguito esprime la pendenza della retta rispetto all'asse x. Il coefficiente viene detto ordinata all'origine e corrisponde all'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. L'equazione di una retta in forma implicita prevede di esprimere la retta mediante un'equazione in cui il membro di destra è zero, mentre il membro di sinistra è un polinomio di primo grado nelle indeterminate . dove i coefficienti s

s Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni: Retta passante per l'origine degli assi; Rette che non passano per l'origine degli assi; Coefficiente angolare .

l

b {\displaystyle \mathbf {x} _{0}}

sono due vettori fissati in | s

= {\displaystyle \mathbf {r'} }

Fascio proprio di rette (rette che hanno un solo punto in comune), Come avremo modo di approfondire nel formulario sul fascio di rette, un fascio di rette aventi un punto in comune viene descritto da un'equazione parametrica della forma.

e un punto ;). {\displaystyle m} Esplicitamente una retta per l'origine avrà un'equazione del tipo. ( {\displaystyle S(x_{s},y_{s},z_{s})}

della retta b ×

′ Per cominciare, come abbiamo anticipato in precedenza, un sistema di riferimento cartesiano ci permette di descrivere una qualsiasi retta mediante un'apposita equazione nelle incognite .

equazioni.

y = mx + n.



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